ichthuss

Два слова про те, чому мені не подобаються отакі приколи: https://www.youtube.com/watch?v=iwPFXgTB0fo (для Ъ-ЛОРівців: в ролику показується спосіб «обчислення» ряду 1+2+3+4+..., який використовується в суперструнних теоріях, «на пальцях», тобто шляхом арифметики молодших класів).

(Зануд попереджую, що решта запису складатиметься переважно з математичних і фізичних банальностей).

Цей ролик претендує на певну пізнавальну цінність, він намагається пояснити людині щось для неї нове. Давайте подивимося, що нового людина дізнатись з нього.

У ролику йдеться про суми нескінченних рядів. Що таке сума нескінченного ряду? Це досить нетривіальне питання, і ось чому: коли ми говоримо про будь-яке узагальнення операції на ширше коло операндів, нам треба домовитись, як ми це робимо. Операція додавання (і зворотна їй операція віднімання) початково визначена для двох операндів: якщо ми знаємо числа a і b, ми можемо ефективно і однозначно визначити число c таке, що c = a + b. Узагальнити це визначення для скінченної кількості операцій можна очевидним чином: наприклад, сумою чотирьох величин, за означенням, вважатимемо вираз a + b + c + d = (((a + b) + c ) + d). Таким чином, сума чотирьох величин зводиться до суми трьох величин (а саме: (a + b), c, d), а та, в свою чергу, зводиться до суми двох величин.

Зовсім інша ситуація буде в тому випадку, якщо ми спробуємо визначили суму нескінченної кількості величин. Для скінченної суми n величин ми можемо звести задання до суми n-1 величини, що якісно відрізняється від початкового завдання. Для суми ж нескінченної кількості величин аналогічна операція зведе завдання знову до суми нескінченного ряду, тобто ситуація приципово не зміниться. Таким чином, очевидного узагальнення операції додавання на нескінченну кількість операндів немає, доводиться викручуватись.

Найпопулярніший підхід полягає у визначенні суми ряду як границі послідовності частинних сум. Іншими словами, для ряду a₁ + a₂ + a₄ + ... обчислюються так звані частинні суми:

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃
...

і вибирається таке число S, щоб для будь-якої бажаної точності (позначимо її через ε) всі частинні суми, починаючи з певного номера N (цей номер, звісно, залежить від ε) лежали не далі, ніж на відстані ε від нашого числа S: |S_n - S| < ε для всіх n > N. Або, в еквівалентному формулюванні, щоб за межами інтервалу від S-ε до S+ε лежала, як максимум, скінченна кількість з-поміж всіх S_n. Таке число S і називають сумою нескінченного ряду.

Підкреслюю, що «сума нескінченного ряду» є принципово іншим математичним конструктом, ніж сума скінченної кількості величин. Це означає, серед іншого, що ми не можемо бездоказово переносити відомі нам властивості скінченних сум на суми нескінченних рядів. Кожна операція з нескінченностями перед своїм застосуванням потребує додаткового дослідження на її припустимість.

З приведеного вище визначення випливають певні наслідки, які слід брати до уваги при роботі з такими рядами. По-перше, сума ряду (число S з названими властивостями) існує далеко не завжди: є купа рядів, для яких жодне дійсне число не задовольняє цим властивостям. Такі ряди називають розбіжними. При цьому для того, щоб ряд був збіжним, його елементи мусять прямувати до нуля. Якщо ж елементи ряду залишаються великими (не близькими до нуля) у всьому ряду, то такий ряд просто не може бути збіжним. Це означає, що всі ряди, про які йдеться в ролику, не мають якої-небудь осмисленої суми в звичайному розумінні поняття «сума ряду».

Далі, якщо ми хочемо «тасувати» (переставляти) елементи ряду, то нам треба переконатись, що в результаті такої операції сума ряду не зміниться. На відміну від суми скінченної кількості величин, для якої це можна довести простим використанням комутативності (a + b = b + a) і асоціативності ( (a + b) + c = a + (b + c) ) додавання, для того, що ми називаємо «сумою ряду», це питання є досить нетривіальним. Детальний аналіз показує, що «чесно» (без зміни результату) ми можемо проводити такі операції для збіжних рядів у двох випадках:

а) ми робимо лише скінченну кількість перестановок,

або ж

б) нашому ряду притаманна властивість, яку називають «абсолютна збіжність»: сума елементів цього ряду, взята по модулю (тобто зі знаком «+»), також повинна складати збіжний ряд. Ця умова виконується далеко не для всіх рядів: приміром, ряд 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 + ... — збіжний, але не є абсолютно збіжним, тому що ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... розходиться.

Друга умова настільки важлива, що можна навіть довести, що з ряду, який не підпадає під її вимоги, можна шляхом перестановки доданків отримати будь-який (!!!) результат. Причиною цього є те, що такий ряд фактично є різницею двох розбіжних рядів, тобто двох нескінченностей, а операція віднімання нескінченності від нескінченності погано визначена (не дає однозначного результату).

Чи означає це, що фізики помиляються і ми спростували квантову теорію? Звісно, ні. Просто те, що фізики мають наувазі, коли говорять про суму ряду, є зовсім іншим об’єктом, ніж те, що називається сумою ряду в простому математичному аналізі. Тут треба зробити короткий екскурс в історію квантової фізики.

При перших спробах сформулювати закони квантової електродинаміки виявилась одна дуже неприємна обставина: з формул, які виходять з цих законів, випливає, що деякі фізичні величини, які є очевидно скінченними, по формулам виходять нескінченними. Фізики засумували і підправили формули довільним чином так, щоб отримувати скінченний результат: наприклад, змінили

$\sum_{k, \alpha}{\left ( N_{k\alpha} + \frac{1}{2} \right ) }$

на

$\sum_{k, \alpha}{\left ( N_{k\alpha} \right ) }$ .

Ця довільна правка їх довго засмучувала, і вони всіляким чином намагалися від неї позбавитись, але з часом зрозуміли, що це не баг, а фіча, назвали її «перенормуванням» і назбирали купу напівемпіричних практик, які можуть використовуватися для таких правок. Напівемпіричних — тому що операція віднімання нескінченності від нескінченності, як ми зауважили вище, не є гарно визначеною і може дати, в принципі, різний результат в залежності від того, як її проводити. Тому критерієм коректності вибраного способу перенормування залишається адекватність фізичної теорії, тобто, по-перше, її фізична осмисленість, а по-друге, емпірична її перевірка.

Підсумовуючи: сенс співвідношення

$\sum_{n=1}^{\infty}{ n } = - \frac{1}{12}$

полягає в тому, що в деяких фізичних теоріях в ті формули, де виникає ця сума, додається певним чином сконструйований додатковий член, який дозволяє замінити цей вираз на число –1/12, і при такій заміні виходить теорія, якій можна надати розумної фізичної інтерпретації. Більше ніякий сенс в цей вираз не вкладається.

А тепер повернімося до ролику з першого абзацу. Маємо: ролик мало того, що працює з розбіжними рядами як зі збіжними, він ще й виконує над ними операції, які можливі не над кожним збіжним рядом, а тільки над абсолютно збіжними. Що людина зможе дізнатися з цього ролику такого, що вона не знала до нього? Кілька некоректних прийомів обчислення числових рядів і почуття причетності до езотеричного знання. Спроба застосувати ці прийоми до якихось інших завдань дасть довільний (а, отже, безглуздий) результат, почуття причетності надасть людині наснаги повчати інших, чим переконає всіх інших, що фізики-квантовики — фріки, які вірять в різну фігню. Більше ніяких корисних результатів з цього відео людина не отримає.

Можливо, описані операції мають якийсь зв’язок з тим, як реально отримується подібне співвідношення в фізичних теоріях (я поки що не розбирався, яким чином будується аналітичне продовження дзета-функції, не виключено, що між цими операціями і «обчисленнями» в ролику можна провести віддалену аналогію), але навіть якщо такий зв’язок і існує, людині, для того щоб осмислити цю аналогію, потрібно володіти математикою більшою мірою, ніж просто для того, щоб зрозуміти, яким чином можна придати розумну інтерпретацію сумі

$\sum_{n=1}^{\infty}{ n }$ .

Тобто цей ролик має строго від’ємну цінність.

Додаткові матеріали для самостійного вивчення:

http://avva.livejournal.com/2729257.html — просте пояснення, в якому сенсі надається значення розбіжним рядам, і кілька корисних лінків з детальнішим розбором.
http://en.wikipedia.org/wiki/1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ — стисле викладення деяких підходів, які використовуються для заміни розбіжного ряду на певне значення.